Bài VIII: Khái Quát Hoá và Khái Niệm Hoá

Các bạn thân mến,

Trong các bài giảng trước, chúng ta đã lược qua một số phương pháp "hơi lạ tai" đối với SV/HS trong nước. Nay chúng tôi quay sang các phương pháp "có vẻ dễ thấm hơn". Nói như vậy là vì, một phần rất sơ đẳng cuả các phương pháp này đã được trình bày trong các sách giáo khoa về toán (chẳng hạn như một ít thành tố có nhắc đến trong chương trình PTTH lớp 10). Tuy nhiên, do quá sơ đẳng nên hầu hết đã quên hay không sử dụng nổi những gì đã được học.

Các bài sau là nỗ lực rất lớn cuả chúng tôi nhằm hệ thống lại những điểm cốt lõi cần nắm để các bạn có thể mài bén hơn nữa con dao suy luận mà các bạn đang xài (có dao đã bị cùn lụt hay mẻ gãy vì va chạm cuả thực tế và thời gian).

Bài đầu tiên trong loạt bài này là Khái Quát Hoá và Khái Niệm hoá:

Khái Quát Hoá:

Trong những bài đầu chúng tôi đã trình bày với các bạn những hình thức chung để nghiên cứu một vấn đề. Vấn đề phải được xét trên tất cả các bình diện. Tất cả ý kiến đều được đánh giá công bằng và tiêu chuẩn cao nhất là bằng mọi cách để đề cập đến vấn đề một cách dễ hiểu và toàn diện. Từ một vấn đề rất khó, nếu chúng ta biết cách tập trung, gỡ rối từng mảng thì chúng ta có thể đưa vấn đề ra ánh sáng. Ít ra, chúng ta có thể đặt vấn đề một cách dễ hiểu hơn. Nói cách khác, chúng ta đã đi từng bước để khái quát hóa vấn đề.

Vậy khái quát hóa là gì? Khái quát hóa là dùng những câu cú súc tích, đơn giản a, b, c, d…để cung cấp cho người khác nội dung vấn đề từ một hay nhiều khía cạnh khác nhau. Càng đi sâu và càng đi rộng ta càng tạo ra khung cảnh sát thực của vấn đề hơn. 

Quá trình khoa học của khái quát hóa thường đi theo các bước sau:

Bước 1: Nêu vấn đề, nhiệm vụ đặt ra của vấn đề. Ngay trong ví dụ từ bài ba của chúng tôi đã đặt một vấn đề: “Chúng ta có một bãi tắm. Và bãi tắm cần đạt được tất cả những tiêu chuẩn vệ sinh nhất định.”. Nhiệm vụ đặt ra: “Làm sao nước biển ở bãi tắm luôn sạch”.

Bước 2: Thu thập các ý kiến. Cách thu thập ý kiến chúng tôi đã trình bày ở bài 1.

Bước 3: Tổng hợp, đánh giá và sắp xếp các loại ý kiến theo chiều sâu và chiều rộng như chúng tôi đã trình bày ở bài 3.

Bước 4: Phân nhóm các loại ý kiến. Việc phân nhóm thường dựa trên hai tiêu chuẩn cơ bản: lĩnh vực khoa học và tính khả thi (gồm cả việc người ta đã có cách giải quyết vấn đề này hữu hiệu chưa).

Còn như lọc nước biển lại liên quan chính đến Kỹ thuật.

Nói chung, chúng ta cần phải phân nhóm để chúng ta biết sức chúng ta sẽ làm được đến đâu. Chúng ta có kế hoạch rõ ràng để nghiên cứu vấn đề và chúng ta sẽ phân công công việc cho từng người hợp với khả năng và sở thích của họ hơn.

Bước 5: Tiến hành tra cứu những tài liệu có sẵn theo từng phân nhóm. Đánh giá những tài liệu này ngay chính trên phân nhóm. Ví dụ, có ý kiến này đã có người giải quyết trọn vẹn thì ta đánh dấu 1, có ý kiến khác chưa hề được đả động tới ta đánh dấu 0. Nói chung qua bước 4, bước 5 chúng ta lập được mô hình cụ thể những ý kiến cả bề sâu lẫn bề rộng của vấn đề. Và cho những đánh giá cụ thể để tất cả mọi người tham dự nghiên cứu thấy việc gì cấn làm, việc gì cấp bách, việc gì thiết thực…

Bước 6: Lúc này, ta đã có toàn cảnh của vấn đề. Ta bắt đầu tổng kết. Đối với vấn đề, trên thực tế người ta đã giải quyết được bao nhiêu, trên lý thuyết người ta đã giải quyết được những gì. Đánh giá mặt mạnh, mặt yếu của các giải pháp. Đưa ra những quan hệ hỗ tương giữa các nhóm ý kiến với nhau. Đưa ra giải pháp cải thiện của chúng ta. Và hiển nhiên, đưa ra những kế hoạch giải quyết những ý kiến, tư tưởng mà cả trên thực tế và lý thuyết chưa có ai (hoặc sơ sài) đề cập đến. 

Khái Niệm hoá

Dù ở bất kỳ bước nào, để việc nghiên cứu rõ ràng, rành mạch hơn, việc đầu tiên nhà khoa học cần làm là đưa ra những khái niệm cơ bản xuyên suốt trong toàn bộ quá trình. Những khái niệm này phải có tính modul cao, càng độc lập với nhau càng tốt và được sử dụng một cách thống nhất trong suốt quá trình tìm hiểu và nghiên cứu vấn đề. Vậy khái niệm hoá là gì? 

Ngày ngày, chúng ta nghe không biết bao nhiêu câu dính dáng đến từ “Khái niệm”: “Tôi chả có một tý khái niệm về vấn đề này cả”, “Cậu có thể giải thích cho tớ vài khái niệm không?”, … Những câu thường ngày chúng ta hay nói hay nghe, chúng ta cứ ngỡ nó vốn dĩ phải như thế…Nhưng không phải vậy, hầu hết những từ ngữ trong đó đã được các tiền nhân chúng ta khái niệm hoá cả rồi. Ví dụ, ta nói cho tập số tự nhiên N. Vậy tập số nguyên là gì? Chúng ta trả lời: “À, à. Tập số tự nhiên là tập 1, 2, 3, 4…đó mà”, người nói rõ ràng hơn thì giải thích: “Tập tự nhiên là tập những số nguyên dương.”. Nếu thế tập những số nguyên là gì?...Dần dần, chúng ta không hiểu phải giải thích từ đâu, tại vì các khái niệm cứ xoắn vào nhau. Mặc dù, chúng ta đã biết, nhận thức, cảm giác được nó như là điều hiển nhiên vậy. Thực ra, tập số tự nhiên là tập số mà số đầu tiên a₁=1, các số tiếp theo bằng số kế nó cộng thêm 1. Đến đây, các bạn thử khái niệm hoá những tập hợp khác, ví dụ như tập các số nguyên Z, tập các số hữu tỷ Q. 

Đó là với những danh từ. Nhưng khái niệm hoá, nó còn bao trùm lên mọi lãnh vực. Ví dụ, đối với các động từ thì mức độ khái niệm hoá còn phong phú hơn. Ngay ở ví dụ bài 3 của chúng tôi có khái niệm “lọc nước biển”. Nhưng lọc nước biển là cái gì? Chúng ta có thể đưa ra định nghĩa như sau: lọc nước biển là sử dụng các quá trình sinh lý hoá sao cho nước biển khi được xử lý sau một thời gian sẽ đạt được một tiêu chuẩn nào đó (dĩ nhiên là tốt hơn).

 Đơn giản hơn, chúng ta lấy ví dụ sau: trên website Câu lạc bộ Toán Lý Hoá có bạn ra một đề toán sau: “Ghi những số tự nhiên từ 1 đến 2004 lên bảng. Một người chọn vài số trong những số trên bảng cộng lại nhau chia cho 11. Lấy số dư ghi lại lên bảng và các số đã chọn ta xoá đi. Người kia tiếp tục thực hiện như thế đến khi trên bảng còn hai số. Một số là 1000. Bạn hãy tìm số còn lại.”. Tôi không muốn đề cập đến lời giải. Tôi chỉ muốn phân tích xem có cách gì khái niệm hoá bài Toán. Độc giả nhận thấy ngay, trong bài toán nói trên thành phần quan trọng nhất là thao tác : “chọn vài số trong những số trên bảng cộng lại nhau chia cho 11. Lấy số dư…”. Để gọn ta tạm gọi thao tác trên là thao tác mod 11 và ký hiệu nó bằng Q. Cuối cùng, ta tìm tính chất của thao tác đó thực hiện trên trường xác định của nó. Trong trường hợp Q: Q(a,b,c)=Q(Q(a,b),c). 

Như vậy, ở trên chúng ta có thể thấy được khái niệm hoá có ba phần chính:

1. Định nghĩa.
2. Ký hiệu
3. Tính chất.

Trong trường hợp bài toán ta đã thấy rõ ràng ba điểm trên. Ngay như trường hợp lọc nước biển ta đã có định nghĩa. Ví dụ ta có một quy trình sinh hoá như sau: “Cho một số tảo vào nước biển. Sau một thời gian thì số tảo này thải ra một enzim có tính chất làm tiêu huỷ các chất bẩn thuộc họ benzol, ête, rượu…”. Ta gọi quá trình này là LSH, còn hàm số LSH(TTNB, t, w) có giá trị xác định ở trường TTNB(a₁,a₂,…a_m). TTNB – tình trạng nước biển trước khi thực hiện quy trình, nó được xác định tương đối chính xác trên trường các thông số a₁,a₂,…a_m; t – thời gian tối thiểu để sử dụng tối ưu khối lượng nguyên liệu w; w – khối lượng nguyên liệu. Sau khi qua tác dụng LSH, ta có được TTNB khác với các thông số khác a₁’,a₂’,…a_m’. Trong trường hợp này, ta thấy tính chất của hàm LSH có dạng quay vòng (recursive). Điều này giúp cho chúng ta có những algorith thích hợp để chọn những thông số t, w tối ưu.

 Hiểu rõ tính năng của LSH và khảo sát hàm số LSH() ta có thể nhanh chóng nhận diện các điểm ưu khuyết của nó. Rút ra, muốn làm sạch thêm nước biển ta phải tiếp tục dùng phương pháp khác hay ngay từ đầu ta thực hiện song song các phương pháp. Trên đây chỉ là ví dụ để chúng ta thấy tầm quan trọng của việc khái niệm hóa. Trong đó, việc nhận diện được tính chất của khái niệm đó đóng góp rất lớn và làm tiết kiệm rất nhiều thời gian nghiên cứu.

Thay Lời Kết Luận:

 Ngày nay, dưới thời đại thông tin, chúng ta đã có nhiều chương trình, ngôn ngữ lập trình hiện đại. Với nhiều kỹ thuật số tinh vi, chúng ta có thể khái quát hóa, khái niệm hóa mọi vấn đề qua những objects, procedures của chương trình máy tính. Và việc nhận diện bản chất, tính chất của vấn đề sẽ nhanh hơn. Nhưng máy tính chỉ biến những khái quát của chúng ta qua kỹ thuật số thôi chứ không thể làm giúp chúng ta các bước đã kể trên được.

 Khái quát hóa, khái niệm hóa giúp cho nhà khoa học: 

1. Nhanh chóng tổng hợp, tạo ra một mô hình thu gọn để hiểu và tiến tới nghiên cứu vấn đề.
2. Có cách nhìn khách quan hơn về vấn đề. Đánh giá đúng đắn những nghiên cứu của mình góp sức được bao nhiêu phần trăm để giải quyết vấn đề qua việc phân nhóm. Ví dụ: nước biển bẩn vì rác và các chất thải do các nhà hàng trên bờ đưa đến. Vậy nhiều khi cách giải quyết bằng lọc vừa tốn kém vừa không hiệu quả bằng cách giải quyết hành chính như: cấm đổ rác, cảnh sát thường xuyên tuần tra, phạt nặng hay tước quyền kinh doanh.
3. Tạo điều kiện cho nhà khoa học tập trung vào điểm cốt lõi hay điểm mà ông quan tâm hoặc có khả năng giải quyết.